Lean 数论基础

介绍

数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质及其相互关系。在Lean中，数论的基础概念可以通过类型论和证明助手的功能来实现。Lean不仅是一个编程语言，还是一个强大的数学证明工具，特别适合处理数论中的定理和问题。

本文将逐步介绍如何在Lean中使用数论的基础概念，包括素数、最大公约数、同余等，并通过实际案例展示这些概念的应用。

素数是大于1的自然数，且只能被1和它本身整除。在Lean中，我们可以定义一个素数如下：

lean
def is_prime (n : ℕ) : Prop :=
  n > 1 ∧ ∀ m : ℕ, m ∣ n → m = 1 ∨ m = n

这里，is_prime 是一个谓词，表示一个自然数 n 是否是素数。m ∣ n 表示 m 整除 n。

最大公约数（GCD）是两个或多个整数共有约数中最大的一个。在Lean中，我们可以使用 nat.gcd 函数来计算两个数的最大公约数：

lean
#eval nat.gcd 12 18  -- 输出: 6

同余是数论中的一个重要概念，表示两个整数除以同一个数后余数相同。在Lean中，我们可以使用 ≡ 符号来表示同余关系：

lean
example : 17 ≡ 5 [MOD 6] :=
begin
  rw nat.modeq_iff_dvd,
  norm_num,
end

费马小定理是数论中的一个重要定理，它指出如果 p 是一个素数，且 a 不是 p 的倍数，那么 a^(p-1) ≡ 1 [MOD p]。在Lean中，我们可以证明这个定理：

lean
theorem fermat_little_theorem (p : ℕ) (hp : is_prime p) (a : ℤ) (ha : ¬ p ∣ a) :
  a^(p-1) ≡ 1 [MOD p] :=
begin
  -- 证明过程省略
end

欧几里得算法是计算两个数最大公约数的高效方法。在Lean中，我们可以实现这个算法：

lean
def euclidean_gcd (a b : ℕ) : ℕ :=
  if b = 0 then a else euclidean_gcd b (a % b)

#eval euclidean_gcd 12 18  -- 输出: 6

本文介绍了Lean中数论的基础概念，包括素数、最大公约数和同余，并通过实际案例展示了这些概念的应用。Lean作为一个强大的数学证明工具，特别适合处理数论中的定理和问题。

通过完成这些练习，你将更深入地理解Lean中的数论基础，并能够应用这些知识解决实际问题。