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Lean 群

介绍​

在数学中，群（Group） 是一种基本的代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成，满足四个基本性质：封闭性、结合律、单位元的存在性以及逆元的存在性。群的概念在数学的许多分支中都有广泛应用，例如代数、几何和物理学。

在 Lean 中，群是通过类型类和结构来定义的。通过学习 Lean 中的群，你可以更好地理解抽象代数的基础，并将其应用于编程中。

群的定义​

一个群是一个集合 GG 和一个二元运算 ⋅\cdot（通常称为“乘法”），满足以下性质：

  1. 封闭性：对于任意 a,b∈Ga, b \in G，有 a⋅b∈Ga \cdot b \in G。
  2. 结合律：对于任意 a,b,c∈Ga, b, c \in G，有 (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)。
  3. 单位元：存在一个元素 e∈Ge \in G，使得对于任意 a∈Ga \in G，有 e⋅a=a⋅e=ae \cdot a = a \cdot e = a。
  4. 逆元：对于任意 a∈Ga \in G，存在一个元素 a−1∈Ga^{-1} \in G，使得 a⋅a−1=a−1⋅a=ea \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e。

在 Lean 中，群的定义如下：

lean
class Group (G : Type) extends Monoid G :=
(inv : G → G)
(mul_left_inv : ∀ a : G, inv a * a = 1)

这里，Group 类型类继承了 Monoid，并添加了逆元 inv 和左逆元的性质 mul_left_inv。

代码示例​

让我们通过一个简单的例子来理解如何在 Lean 中定义一个群。假设我们有一个整数集合 Z\mathbb{Z}，并定义加法作为二元运算。那么 Z\mathbb{Z} 在加法下形成一个群。

lean
import algebra.group.basic

instance : add_group ℤ :=
{ add := (+),
  add_assoc := int.add_assoc,
  zero := 0,
  zero_add := int.zero_add,
  add_zero := int.add_zero,
  neg := int.neg,
  add_left_neg := int.add_left_neg }

在这个例子中，我们定义了整数集合 Z\mathbb{Z} 的加法群。add_group 是 Lean 中用于定义加法群的类型类。

群的性质​

群有许多重要的性质，以下是一些常见的性质：

  1. 单位元的唯一性：群中的单位元是唯一的。
  2. 逆元的唯一性：每个元素的逆元是唯一的。
  3. 消去律：如果 a⋅b=a⋅ca \cdot b = a \cdot c，则 b=cb = c。

这些性质在群的理论中非常重要，并且在 Lean 中可以通过定理来证明。

实际案例​

群的概念在密码学中有广泛应用。例如，椭圆曲线加密（ECC） 就是基于椭圆曲线上的点构成的群。椭圆曲线上的点加法满足群的四个性质，因此可以用于构建安全的加密算法。

在这个图中，我们可以看到椭圆曲线上的点加法形成了一个群结构，进而用于构建加密算法。

总结​

群是数学中一个非常基础且重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。通过 Lean，我们可以形式化地定义和操作群，从而更好地理解其性质和应用。

附加资源​

练习​

  1. 在 Lean 中定义一个有限群，并验证其群性质。
  2. 证明群中单位元的唯一性。
  3. 研究椭圆曲线加密算法，并尝试在 Lean 中实现一个简单的椭圆曲线群。

通过完成这些练习，你将更深入地理解群的概念及其在 Lean 中的应用。