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Lean 余归纳法

在Lean中，余归纳法（Coinduction）是一种用于处理无限数据结构的证明技术。与归纳法（Induction）不同，归纳法通常用于处理有限的结构，而余归纳法则适用于那些可能无限延伸的结构，例如流（Streams）或无限列表。

什么是余归纳法？​

余归纳法的核心思想是：通过观察结构的有限部分来推断其无限行为。它通常用于定义和证明那些无法通过有限步骤完全展开的结构。例如，一个无限流 s 可以被定义为一个头元素 head s 和一个尾流 tail s，而尾流本身又是一个无限流。

余归纳法的基本概念​

  1. 余数据类型（Codata）：余数据类型是那些可能无限展开的数据类型。例如，Stream α 是一个余数据类型，表示一个无限的元素序列。

  2. 余递归定义（Corecursive Definition）：余递归定义允许我们定义一个无限结构，而不需要显式地写出所有元素。例如，定义一个无限流 ones，其中所有元素都是 1：

    lean
    def ones : Stream Nat :=
      Stream.corec (fun _ => 1) ()

    这里，Stream.corec 是一个余递归构造器，它通过一个生成函数和一个初始状态来定义一个无限流。

  3. 余归纳原理（Coinductive Principle）：余归纳原理允许我们通过观察有限部分来证明无限结构的性质。例如，证明两个无限流相等，只需要证明它们的每个对应元素相等。

余归纳法的实际应用​

案例1：定义无限流​

让我们定义一个无限流 nats，表示自然数序列 0, 1, 2, 3, ...：

lean
def nats : Stream Nat :=
  Stream.corec (fun n => (n, n + 1)) 0

在这个定义中，Stream.corec 接受一个生成函数 fun n => (n, n + 1) 和一个初始状态 0。生成函数返回当前元素 n 和下一个状态 n + 1，从而生成无限的自然数序列。

案例2：证明流的相等性​

假设我们有两个无限流 s1 和 s2，我们想证明它们相等。根据余归纳原理，我们只需要证明它们的每个对应元素相等。

lean
theorem stream_eq (s1 s2 : Stream Nat) :
  (∀ n, Stream.get s1 n = Stream.get s2 n) → s1 = s2 :=
by
  intro h
  apply Stream.ext
  intro n
  exact h n

在这个证明中，Stream.ext 是Lean中的一个定理，它表明两个流相等当且仅当它们的每个对应元素相等。

案例3：余归纳法的实际应用​

考虑一个无限流 fib，表示斐波那契数列。我们可以通过余递归定义来构造这个流：

lean
def fib : Stream Nat :=
  Stream.corec (fun (a, b) => (a, (b, a + b))) (0, 1)

在这个定义中，Stream.corec 接受一个生成函数 fun (a, b) => (a, (b, a + b)) 和一个初始状态 (0, 1)。生成函数返回当前元素 a 和下一个状态 (b, a + b)，从而生成无限的斐波那契数列。

总结​

余归纳法是Lean中处理无限数据结构的重要工具。通过余递归定义和余归纳原理，我们可以轻松地定义和证明无限流的性质。余归纳法的核心思想是通过观察有限部分来推断无限行为，这使得它在处理无限结构时非常强大。

附加资源与练习​

  1. 练习1：定义一个无限流 twos，其中所有元素都是 2，并证明它与 ones 的每个元素相加等于 threes。
  2. 练习2：定义一个无限流 evens，表示所有偶数，并证明它的每个元素都是偶数。
  3. 附加资源：阅读Lean官方文档中关于余数据类型和余归纳法的部分，深入了解其理论基础和应用场景。
提示

余归纳法在处理无限结构时非常有用，但在实际应用中需要注意避免无限循环。确保你的余递归定义是良定义的，并且能够生成有意义的结果。