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Lean 证明搜索

在Lean中，证明搜索（Proof Search）是一种自动化技术，它可以帮助我们找到定理的证明，而无需手动编写所有步骤。对于初学者来说，掌握证明搜索技术可以极大地提高效率，并帮助你更好地理解Lean的自动化能力。

什么是证明搜索？​

证明搜索是Lean中的一种自动化工具，它通过尝试各种可能的推理步骤来寻找定理的证明。与手动编写证明不同，证明搜索依赖于Lean的内置策略和算法，自动推断出正确的证明路径。

为什么使用证明搜索？​

  1. 节省时间：手动编写证明可能非常耗时，尤其是在处理复杂定理时。证明搜索可以自动完成大部分工作。
  2. 减少错误：自动化工具可以避免人为错误，确保证明的正确性。
  3. 学习辅助：通过观察证明搜索的结果，你可以更好地理解Lean的推理过程。

证明搜索的基本用法​

在Lean中，证明搜索通常通过by关键字来触发。以下是一个简单的例子：

lean
example : ∀ (n : Nat), n + 0 = n := by
  intro n
  exact Nat.add_zero n

在这个例子中，by关键字告诉Lean使用证明搜索来找到n + 0 = n的证明。intro n和exact Nat.add_zero n是Lean自动生成的步骤。

输入与输出​

  • 输入：example : ∀ (n : Nat), n + 0 = n := by
  • 输出：Lean自动生成证明步骤，并验证定理的正确性。

逐步讲解证明搜索​

1. 使用by关键字​

by关键字是触发证明搜索的起点。它告诉Lean尝试自动生成证明。

lean
example : ∀ (n : Nat), n + 0 = n := by
  -- Lean将自动生成证明步骤

2. 使用intro策略​

intro策略用于引入假设。在上面的例子中，intro n将n引入到上下文中。

lean
example : ∀ (n : Nat), n + 0 = n := by
  intro n
  -- 现在n在上下文中

3. 使用exact策略​

exact策略用于精确匹配已知的定理或引理。在上面的例子中，exact Nat.add_zero n使用了Nat.add_zero定理来证明n + 0 = n。

lean
example : ∀ (n : Nat), n + 0 = n := by
  intro n
  exact Nat.add_zero n

实际案例​

案例1：证明交换律​

让我们通过一个更复杂的例子来展示证明搜索的实际应用。假设我们要证明自然数的加法交换律：

lean
example : ∀ (n m : Nat), n + m = m + n := by
  intro n m
  induction n
  · rw [Nat.zero_add, Nat.add_zero]
  · rw [Nat.succ_add, Nat.add_succ]
    assumption

在这个例子中，我们使用了induction策略来对n进行归纳证明。rw策略用于重写等式，而assumption策略用于自动匹配已知的假设。

案例2：证明结合律​

另一个常见的例子是证明自然数加法的结合律：

lean
example : ∀ (n m k : Nat), (n + m) + k = n + (m + k) := by
  intro n m k
  induction n
  · rw [Nat.zero_add, Nat.zero_add]
  · rw [Nat.succ_add, Nat.succ_add]
    assumption

在这个例子中，我们同样使用了induction策略，并通过rw和assumption策略完成了证明。

总结​

证明搜索是Lean中一个强大的工具，它可以帮助我们自动化地生成证明。通过使用by关键字和Lean的内置策略，我们可以大大简化证明过程，并提高效率。

附加资源​

练习​

  1. 尝试使用证明搜索证明∀ (n : Nat), n * 1 = n。
  2. 使用证明搜索证明∀ (n m : Nat), n + m = m + n，并观察Lean生成的步骤。

通过不断练习，你将更加熟练地掌握Lean中的证明搜索技术。