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Lean 4新战术

介绍​

Lean4 是一个功能强大的交互式定理证明器，广泛用于形式化数学和编程语言理论。Lean4 引入了许多新战术（tactics），这些战术可以帮助用户更高效地构建证明。战术是 Lean4 中的核心概念之一，它们是指令或策略，用于自动化或简化证明过程。

本文将介绍 Lean4 中的一些新战术，并通过代码示例和实际案例展示它们的用法。

新战术概览​

Lean4 中的新战术包括但不限于：

  • simp：简化表达式。
  • rw：重写表达式。
  • induction：进行归纳证明。
  • cases：分解数据结构。
  • exact：精确匹配目标。

接下来，我们将逐步讲解这些战术，并通过代码示例展示它们的用法。

simp 战术​

simp 是 Lean4 中最常用的战术之一，它用于简化表达式。simp 会自动应用一系列预定义的简化规则，从而减少用户手动操作的步骤。

示例​

lean
example : (1 + 2) * 3 = 9 := by
  simp

在这个例子中，simp 自动将 (1 + 2) * 3 简化为 9，从而完成了证明。

rw 战术​

rw 是重写战术，它允许用户根据等式或定理重写目标表达式。

示例​

lean
example (a b : Nat) : a + b = b + a := by
  rw [Nat.add_comm]

在这个例子中，rw [Nat.add_comm] 使用了加法交换律 Nat.add_comm 来重写目标表达式，从而完成了证明。

induction 战术​

induction 是归纳战术，它用于对自然数或数据结构进行归纳证明。

示例​

lean
example (n : Nat) : n + 0 = n := by
  induction n with
  | zero => simp
  | succ n ih => simp [ih]

在这个例子中，induction 战术对 n 进行了归纳证明。zero 情况通过 simp 自动完成，succ 情况则使用了归纳假设 ih。

cases 战术​

cases 是分解战术，它用于分解数据结构，如列表、自然数等。

示例​

lean
example (n : Nat) : n = 0 ∨ n > 0 := by
  cases n with
  | zero => left; rfl
  | succ n => right; exact Nat.succ_pos n

在这个例子中，cases 战术将 n 分解为 zero 和 succ n 两种情况，并分别进行了处理。

exact 战术​

exact 是精确匹配战术，它用于精确匹配目标表达式。

示例​

lean
example : 2 + 2 = 4 := by
  exact rfl

在这个例子中，exact rfl 精确匹配了目标表达式 2 + 2 = 4，从而完成了证明。

实际案例​

案例：证明斐波那契数列的性质​

让我们通过一个实际案例来展示这些战术的应用。我们将证明斐波那契数列的一个性质：fib (n + 2) = fib (n + 1) + fib n。

lean
def fib : Nat → Nat
  | 0 => 0
  | 1 => 1
  | n + 2 => fib (n + 1) + fib n

example (n : Nat) : fib (n + 2) = fib (n + 1) + fib n := by
  induction n with
  | zero => simp [fib]
  | succ n ih => simp [fib, ih]

在这个案例中，我们首先定义了斐波那契数列 fib，然后使用 induction 战术对 n 进行归纳证明。zero 情况通过 simp [fib] 自动完成，succ 情况则使用了归纳假设 ih。

总结​

Lean4 中的新战术为用户提供了强大的工具，可以显著简化证明过程并提高效率。通过本文的介绍和示例，您应该已经对这些战术有了初步的了解。接下来，您可以尝试在自己的项目中使用这些战术，并探索更多高级功能。

附加资源与练习​

  • 练习 1：尝试使用 simp 和 rw 战术证明 (a + b) * c = a * c + b * c。
  • 练习 2：使用 induction 战术证明 n + m = m + n。
  • 练习 3：使用 cases 战术证明 n = 0 ∨ n > 0。
提示

如果您在练习中遇到困难，可以参考 Lean4 的官方文档或社区论坛，那里有丰富的资源和讨论。