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循环赛日程表

介绍​

循环赛日程表问题是一个经典的算法问题，通常用于安排比赛日程。假设有 n 支队伍参加比赛，每支队伍需要与其他每支队伍比赛一次。我们的目标是安排一个日程表，使得每支队伍每天只进行一场比赛，并且所有比赛都能在最短的时间内完成。

分治算法是解决这个问题的有效方法。通过将问题分解为更小的子问题，我们可以逐步构建出整个日程表。

问题描述​

假设有 n 支队伍，我们需要安排一个日程表，使得每支队伍每天只进行一场比赛，并且所有比赛都能在 n-1 天内完成。例如，如果有 4 支队伍，我们需要在 3 天内安排所有比赛。

分治算法思路​

  1. 分解：将 n 支队伍分成两组，每组 n/2 支队伍。
  2. 递归：为每组安排日程表。
  3. 合并：将两组的日程表合并，确保每支队伍每天只进行一场比赛。

代码示例​

以下是一个使用分治算法解决循环赛日程表问题的 Python 代码示例：

python
def schedule_table(n):
    if n == 1:
        return [[1]]
    
    # 递归地安排 n/2 支队伍的日程表
    half = n // 2
    table = schedule_table(half)
    
    # 初始化日程表
    full_table = [[0] * (n - 1) for _ in range(n)]
    
    # 填充上半部分
    for i in range(half):
        for j in range(half - 1):
            full_table[i][j] = table[i][j]
    
    # 填充下半部分
    for i in range(half, n):
        for j in range(half - 1):
            full_table[i][j] = table[i - half][j] + half
    
    # 填充交叉部分
    for i in range(half):
        for j in range(half - 1, n - 1):
            full_table[i][j] = (i + j + 1) % half + half
            full_table[i + half][j] = (i + j + 1) % half
    
    return full_table

# 示例：4 支队伍的日程表
n = 4
table = schedule_table(n)
for row in table:
    print(row)

输入：n = 4
输出：

[1, 2, 3]
[2, 1, 4]
[3, 4, 1]
[4, 3, 2]

逐步讲解​

  1. 分解：将 4 支队伍分成两组，每组 2 支队伍。
  2. 递归：为每组 2 支队伍安排日程表。对于 2 支队伍，日程表非常简单，只需安排一场比赛。
  3. 合并：将两组的日程表合并，确保每支队伍每天只进行一场比赛。通过交叉填充，我们可以确保每支队伍与其他所有队伍比赛一次。

实际案例​

假设有 4 支队伍：A、B、C、D。我们需要在 3 天内安排所有比赛。使用上述算法，我们可以得到以下日程表：

Day 1: A vs B, C vs D
Day 2: A vs C, B vs D
Day 3: A vs D, B vs C

这样，每支队伍每天只进行一场比赛，并且所有比赛都在 3 天内完成。

总结​

循环赛日程表问题是一个经典的分治算法应用。通过将问题分解为更小的子问题，我们可以有效地安排比赛日程。分治算法的核心思想是分解、递归和合并，这种方法不仅适用于循环赛日程表问题，还可以应用于其他许多算法问题。

附加资源​

练习​

  1. 尝试为 8 支队伍安排循环赛日程表。
  2. 修改代码，使其能够处理奇数支队伍的情况。
  3. 思考如何将分治算法应用于其他类似的问题，如矩阵乘法。
提示

在解决类似问题时，尝试将问题分解为更小的子问题，并思考如何将这些子问题的解合并为最终的解。