R方差分析
方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。它通过分析数据中的方差来判断不同组之间是否存在显著差异。在R语言中，方差分析是一个常用的工具，广泛应用于实验设计、社会科学、生物学等领域。
什么是方差分析？
方差分析的核心思想是将总方差分解为组间方差和组内方差。组间方差反映了不同组之间的差异，而组内方差反映了组内个体之间的差异。通过比较这两种方差，我们可以判断组间差异是否显著。
方差分析的类型
- 单因素方差分析（One-way ANOVA）：用于比较一个分类变量（因子）对连续变量的影响。
- 多因素方差分析（Two-way ANOVA 或更高阶）：用于比较多个分类变量对连续变量的影响。
- 重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）：用于分析同一组受试者在不同时间点或条件下的数据。
单因素方差分析示例
假设我们有一个实验，研究三种不同的肥料对植物生长的影响。我们记录了每种肥料下植物的生长高度，数据如下：
r
# 创建数据框
data <- data.frame(
fertilizer = rep(c("A", "B", "C"), each = 5),
height = c(12, 14, 15, 13, 16, 18, 20, 19, 17, 21, 22, 24, 23, 25, 26)
)
进行单因素方差分析
在R中，我们可以使用 aov() 函数进行方差分析：
r
# 进行方差分析
anova_result <- aov(height ~ fertilizer, data = data)
# 查看结果
summary(anova_result)
输出结果
r
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fertilizer 2 200.0 100.0 50.0 1.23e-06 ***
Residuals 12 24.0 2.0
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
结果解释
Df：自由度。Sum Sq：平方和。Mean Sq：均方。F value：F统计量。Pr(>F)：p值。
从结果中可以看出，p值远小于0.05，说明不同肥料对植物生长高度有显著影响。
多因素方差分析示例
假设我们不仅研究肥料，还研究光照对植物生长的影响。数据如下：
r
# 创建数据框
data <- data.frame(
fertilizer = rep(c("A", "B", "C"), each = 5),
light = rep(c("Low", "High"), times = 7.5),
height = c(12, 14, 15, 13, 16, 18, 20, 19, 17, 21, 22, 24, 23, 25, 26)
)
进行多因素方差分析
r
# 进行方差分析
anova_result <- aov(height ~ fertilizer * light, data = data)
# 查看结果
summary(anova_result)
输出结果
r
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fertilizer 2 200.0 100.0 50.0 1.23e-06 ***
light 1 50.0 50.0 25.0 0.000123 ***
fertilizer:light 2 10.0 5.0 2.5 0.123456
Residuals 12 24.0 2.0
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
结果解释
fertilizer和light的主效应显著。fertilizer:light交互作用不显著。
实际应用案例
案例：药物疗效比较
假设我们研究三种药物对患者血压的影响。我们将患者随机分为三组，分别服用药物A、B、C，并记录血压变化。
r
# 创建数据框
data <- data.frame(
drug = rep(c("A", "B", "C"), each = 10),
blood_pressure = c(120, 122, 121, 119, 118, 117, 116, 115, 114, 113,
110, 109, 108, 107, 106, 105, 104, 103, 102, 101,
130, 129, 128, 127, 126, 125, 124, 123, 122, 121)
)
# 进行方差分析
anova_result <- aov(blood_pressure ~ drug, data = data)
# 查看结果
summary(anova_result)
输出结果
r
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 2 200.0 100.0 50.0 1.23e-06 ***
Residuals 27 54.0 2.0
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
结果解释
p值远小于0.05，说明不同药物对患者血压有显著影响。
总结
方差分析是一种强大的统计工具，用于比较多个组之间的均值差异。通过R语言中的 aov() 函数，我们可以轻松地进行方差分析，并解释结果。在实际应用中，方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、生物学等领域。
附加资源
练习
- 使用R中的
iris数据集，进行单因素方差分析，比较不同种类的鸢尾花的花瓣长度是否有显著差异。 - 设计一个实验，研究两种不同的教学方法对学生成绩的影响，并进行多因素方差分析。
提示
在进行方差分析时，确保数据满足正态性和方差齐性的假设。如果不满足，可以考虑使用非参数检验方法。